벡터의 내적과 외적의 의미
벡터의 내적과 외적의 의미
벡터의 내적
벡터의 내적은 투영과 관련있다.
\[W=\vec{F} \cdot\vec{S}\]일을 계산할 때, 변위 방향으로 작용한 힘과 변위를 곱해서 일의 양을 계산한다. 그러니까, 일의 효율을 높이려면 변위 방향으로 가하는 힘의 크기를 늘려야 하는 것이다. 계산할 때는 한 벡터의 길이와 다른 한 벡터를 다른 벡터로 투영시킨 길이를 곱하여 계산하는데
그림을 참조하면
\[W=|F| |L|cos\theta\]로 쓸 수 있다. 그런데 왜 내적을 두 벡터의 좌표값들을 각각 곱한값을 더해서 계산할까?
이렇게 $cos\theta$를 계산해서 유도할 수 있다.
벡터의 외적
벡터의 외적은 다음과 같이 표현한다.
\[\vec{A}\times\vec{B}=\vec{C}\]
벡터의 내적은 스칼라값이 나왔지만 외적은 벡터가 나온다. 그 벡터의 방향은 $\vec{A}$의 방향에서 $\vec{B}$의 방향으로 오른손을 쥘 때, 엄지 손가락 방향이다. 위의 그림에서 볼 수 있듯이 C벡터는 A,B 두 벡터에 모두 수직이다. 그리고 벡터의 크기는 A,B 벡터의 크기에 $sin\theta$를 곱한 값이다. 그러니까, A,B 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이가 된다.
증명은 여기에서 볼 수 있다.
벡터의 기하학적 의미가 뭘까?
3Blue1Brown 영상에서 찾아볼 수 있었는데,
벡터 a,b의 외적은
\[\begin{vmatrix} i & a_{1} &b_{1} \\ j &a_{2} &b_{2} \\ k & a_{3} &b_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{2}&a_{3} \\ b_{2}&b_{3} \end{vmatrix}\vec i-\begin{vmatrix} a_{1}&a_{3} \\ b_{1}&b_{3} \end{vmatrix}\vec j+\begin{vmatrix} a_{1}&a_{2} \\ b_{1}&b_{2} \end{vmatrix}\vec k\\=\begin{bmatrix} p_{1}\\ p_{2}\\ p_{3} \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} i\\ j\\ k \end{bmatrix}\]다음과 같이 determinant로 구할 수 있는데, 이는 어떤 벡터 p와 x,y,z축을 가리키는 벡터와의 내적으로 나타낼 수 있다. 여기서 i,j,k는 x,y,z축을 각각 나타내는 기저벡터인데, 행렬 안에 벡터를 넣은 것은 표기적 트릭이라고 한다.
여기서 이 determiant라는 개념에 대해서 알아보자.
2차원에서 생각해볼 때, 이 determinant라는 것은 각 columvetor (3,0), (2,2)로 unit vector x,y를 옮긴 뒤, 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이랑 같다.
이렇게 어떤 행렬의 determinant는 두 벡터 (a,c)와 (b,d)가 이루는 평행사변형의 넓이를 나타낸다는것을 증명했다. 이것을 3차원으로 확장한 외적으로 나타내면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\[\vec{A}\times\vec{B}=\begin{vmatrix} i & a &b \\ j &c &d \\ k &0 &0 \end{vmatrix}=det\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}\vec{k}\]그러니까, 크기는 A,B 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이이고 방향은 $\vec{k}$인 벡터가 나온다.
여기서 세 벡터의 determinant의 크기는 어떻게 될까?
바로 평행 육면체의 부피가 된다. 실제로 외적이 이렇진 않지만, 이 아이디어로부터 외적이 무엇을 의미하는지 알게된다.
우리가 구하고자 하는 것은 3차원 벡터의 외적이다.
\[\begin{vmatrix} i & a_{1} &b_{1} \\ j &a_{2} &b_{2} \\ k & a_{3} &b_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{2}&a_{3} \\ b_{2}&b_{3} \end{vmatrix}\vec i-\begin{vmatrix} a_{1}&a_{3} \\ b_{1}&b_{3} \end{vmatrix}\vec j+\begin{vmatrix} a_{1}&a_{2} \\ b_{1}&b_{2} \end{vmatrix}\vec k\\=\begin{bmatrix} p_{1}\\ p_{2}\\ p_{3} \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} i\\ j\\ k \end{bmatrix}\]이것이 의미하는 것을 말로 풀어 써보면, 벡터 p와 벡터 [i,j,k]의 내적을 취한 값이 벡터 A,B,[i,j,k]가 이루는 평행 육면체의 부피와 같아지는 p는 무엇인가? 이다.
평행육면체의 부피를 구해보자. A,B 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이에 벡터 [i,j,k]의 길이만큼을 곱하는 것이 아니라, 평행 사변형에 수직인 길이만큼을 곱하면 평행육면체의 부피가 된다. 그러니까 평행육면체의 부피를 구하려면 벡터 [i,j,k]를 A,B 두 벡터에 모두 수직인 벡터에 투영시켜 그 길이와 A,B가 이루는 평행사변형의 넓이를 곱하여 구해야 한다.
그러니까 벡터 p가 A,B 벡터에 모두 수직이고 그 크기가 A,B가 이루는 평행사변형의 넓이라면, A,B, 벡터 [i,j,k]가 이루는 평행 육면체의 부피는 벡터 p와 벡터 [i,j,k]의 내적과 같다.
2차원에서 determinant는 넓이 factor를 의미했다면, 3차원으로 확장하게 되면 determinant가 부피를 의미하게 되어서, 두 벡터의 외적의 크기는 A,B 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이와 같고 방향은 두 벡터에 모두 수직인(오른손법칙을 이용해서 +,- 구분) 벡터를 의미하는데, 외적을 계산하는 과정은 결국 부피를 구하는 과정과 같게 된다.
