미분과 부정적분은 왜 역관계에 있을까
미분과 부정적분이 왜 역관계에 있는지 다시 한번 의미를 생각해보았다.
y=f(x)를 a부터 b까지 적분하면 위의 식이 성립한다. $F’(x)=f(x)$일 때, F(b)-F(a)로 나타낼 수 있는데, 이 뜻은 (x=0 부터 x=b까지 f(x)와 x-axis가 이루는 넓이) - (x=0부터 x=a까지 f(x)와 x-axis가 이루는 넓이)로 생각할 수 있다.
여기서, 보통 f(x)를 적분할 때 F(x)를 “어떤 함수를 미분하면 f(x)가 될까” 라고 생각하여 F(x)를 계산하는데 너무 당연하게 그래와서 왜 그럴까를 생각해봤는데 너무 간단한 문제였다.
위 그림에서 빨간색 사각형의 미소넓이는 $f(x)dx$이다. 그리고 이 빨간색 사각형은 f(x)의 미소 넓이 변화량이다.
f(x)와 x-axis 사이의 넓이변화량은 F(x)와 같으므로, ( f(x)의 미소 넓이 변화량 = $f(x)dx$) 이고, 다음과 같이 쓸 수 있다.
\[F(x+dx)-F(x)=dF(x)=f(x)dx\rightarrow\frac{dF(x)}{dx}=f(x)\]그래서 F(x)를 계산할 때 어떤 함수를 미분해야 f(x)가 나올까를 생각하는 것이다.
